Hvordan tumler Rama?

[BjarneModerator Super Nova]

Hvordan tumler en lang cylinder? Hertil kræves en løsning af Eulers ligninger:
I₁(dω₁/dt) + (I₃ – I₂)ω₂ω₃ = 0
I₂(dω₂/dt) + (I₁ – I₃)ω₁ω₃ = 0
I₃(dω₃/dt) + (I₂ – I₁)ω₁ω₂ = 0
I₁, I₂ og I₃ er inertimomenterne for de 3 hovedretninger. ω₁, ω₂ og ω₃ er vinkelhastighederne omkring de tilhørende retninger.

En cylinder har kun 2 forskellige inertimomenter: I₁ = I₂ = I vinkelret på cylinderens symmetriakse og I₃ langs cylinderens symmetriakse. De 3 Euler-ligninger antager nu de simplere former: I(dω₁/dt) + (I₃ – I)ω₂ω₃ = 0,  I(dω₂/dt) + (I – I₃)ω₁ω₃ = 0,  I₃(dω₃/dt) = 0.
Den sidste kan umiddelbart løses, idet ω₃ = ω₀, hvor ω₀ er en konstant vinkelhastighed.

Jeg definerer konstanten α = (1 – I₃/I)ω₀, så de 2 første Euler-ligninger antager formerne: dω₁/dt – αω₂ = 0 og dω₂/dt + αω₁ = 0
Jeg differentierer den første og indsætter den anden: d²ω₁/dt² + α²ω₁ = 0.
Dette er ligningen for en harmonisk oscillator. Ligningen for ω₂ har samme form. Vi ved desuden, at de 2 retninger er vinkelrette på hinanden. Løsningerne kan derfor skrives som: ω₁(t) = Ωsin(αt) og ω₂(t) = Ωcos(αt).
Vi har derfor, at ω² = Ω² + ω₀² er konstant. Rotationsvektoren ω har en konstant længde. Vinklen v_ω mellem cylinderens akse og rotationsvektoren er derfor givet ved: tan(v_ω) = Ω/ω₀.

Impulsmomentvektoren L har en fast retning i rummet. Dens komponenter i det roterende system, hvis ene akse er cylinderens symmetriakse og den anden er retningen vinkelret på cylinderen. L har i dette system komponenterne (IΩ, I₃ω₀). Vinklen v_L mellem cylinderens akse og L er derfor givet ved:
tan(v_L) = IΩ/I₃ω₀ = (I/I₃)(Ω/ω₀) = (I/I₃)tan(v_ω). Både cylinderens akse e₃ og rotationsvektoren ω udfører en kegleformet rotation med vinkelhastigheden Ω omkring L. ω befinder sig mellem L og e₃ under rotationen.

 

[BjarneModerator Super Nova]

NEJ. Nu gik det galt igen, helt uden varsel!

[Forfatter]

Indlæg