Hvad er en tumlende rotation?

[BjarneModerator Super Nova]

Den fremmede småplanet ‘Oumuamua ser ud til at være et stift irregulært legeme, som ikke deformeres af sin egen tyngdekraft. Den påvirkes desuden ikke af et ydre kraftmoment, så den udfører en fri rotation omkring tyngdepunktet.

Massefordelingen omkring tyngdepunktet af et irregulært stift legeme bestemmer 3 hovedakser, som igen definerer 3 på hverandre vinkelrette enhedsvektorer e₁(t), e₂(t) og e₃(t), som rorerer med småplaneten. De 3 enhedsvektorer definerer et koordinatsystem, som roterer med småplaneten. Om disse enhedsvektorer gælder (ved anvendelse af højrehåndsreglen):
e₃  =  e₁ × e₂,   e₁  =  e₂ × e₃,   e₂  =  e₃ × e₁

Et stift legemes rotation defineres af en rotationsvektor ω(t), hvis længde angiver vinkelhastigheden. ω kan som enhver anden vektor angives ved de tre koordinater (ω₁, ω₂, ω₃) i det roterende koordinatsystem bestemt ved de 3 enhedsvektorer. ω kan derfor udtrykkes som

ω(t) = ω₁(t)e₁(t) + ω₂(t)e₂(t) + ω₃(t)e₃(t).

Inertimomenterne (I₁, I₂, I₃) langs de tre hovedakser er konstanter, som alene er bestemte af massefordelingen omkring tyngdepunktet. De tre komponenter (L₁, L₂, L₃) af impulsmomentvektoren L er givet ved (I₁ω₁, I₂ω₂, I₃ω₃), så L er givet ved

L(t) = I₁ω₁(t)e₁(t) + I₂ω₂(t)e₂(t) + I₃ω₃(t)e₃(t), hvor dL/dt = 0, da kraftmomentet omkring tyngdepunktet er nul.

En vektor v, som roterer med rotationsvektoren ω har den tidslige differentialkvotient dv/dt = ω × v. Dette anvendes til at finde differentialkvotienterne for de tre enhedsvektorer:

de₁/dt = ω × e₁ = ω₃e₂ – ω₂e₃
de₂/dt = ω × e₂ = ω₁e₃ – ω₃e₁
de₃/dt = ω × e₃ = ω₂e₁ – ω₁e₂

Jeg er nu klar til at differentiere impulsmomentvektoren L(t) med hensyn til tiden

dL/dt = I₁(dω₁/dt)e₁ + I₂(dω₂/dt)e₂ + I₃(dω₃/dt)e₃ + I₁ω₁(de₁/dt) + I₂ω₂(de₂/dt) + I₃ω₃(de₃/dt)

Jeg indsætter nu (de_i/dt), for i=1,2,3 og samler alle led med samme enhedsvektor:

dL/dt = {I₁dω₁/dt +(I₃-I₂)ω₂ω₃}e₁ + {I₂dω₂/dt +(I₁-I₃)ω₁ω₃}e₂ + {I₃dω₃/dt +(I₂-I₁)ω₁ω₂}e₃ = 0

Dette betyder, at indholdet i hver af de 3 paranteser bliver nul, så jeg får de 3 første-ordens differentialligninger:

I₁(dω₁/dt) + (I₃ – I₂)ω₂ω₃ = 0
I₂(dω₂/dt) + (I₁ – I₃)ω₁ω₃ = 0
I₃(dω₃/dt) + (I₂ – I₁)ω₁ω₂ = 0

Disse tre ligninger kaldes Eulers ligninger for et stift legemes rotation om tyngdepunktet.

Alle tre vinkelhastigheder omkring hovedakserne varierer med tiden. Det er dette faktum, som begrunder betegnelsen en tumlende bevægelse. Men er der slet ikke noget, som er konstant under den tumlende bevægelse? Jo, vi ved allerede, at impulsmomentvektoren L er en bevægelseskonstant, hvorfor dens kvadrat L² også er konstant:

L² = L₁² + L₂² + L₃² = I₁²ω₁² + I₂²ω₂² + I₃²ω₃²

Jeg ganger nu de tre Euler-ligninger med henholdsvis ω₁, ω₂ og ω₃, hvorefter jeg adderer ligningerne og finder ligningen:

I₁ω₁(dω₁/dt) + I₂ω₂(dω₂/dt) + I₃ω₃(dω₃/dt) = 0, som igen kan integreres til at give det konstante udtryk:

2T = I₁ω₁² + I₂ω₂² + I₃ω₃², hvor T er rotationens kinetiske energi.

For en given rotationsenergi T befinder rotationsvektorens endepunkt sig på en ellipsoide, som kaldes vinkelhastigheds-ellipsoiden. Jeg vil nu udregne vektorproduktet ω∙L mellem rotationsvektoren ω og impulsmomentvektoren L:

ω∙L = I₁ω₁² + I₂ω₂² + I₃ω₃² = 2T

(fortsættes)

[Forfatter]

Indlæg