Hvad er en geodætisk kurve?

[BjarneModerator Super Nova]

Ækvivalensprincippet er baggrunden for, at Einstein kunne indføre en ny gravitationsteori som afløser til Newtons klassiske tyngdekraft. Et frit faldende legeme følger i Einsteins teori en geodætisk kurve i et fire-dimensionalt rum, som senere fik betegnelsen rumtiden.

Jeg vil i det følgende forklare, hvordan man i simplere tilfælde kan finde den geodætiske kurve mellem to faste punkter. Den geodætiske kurve er defineret ved, at små ændringer i kurvens forløb mellem punkterne A og B ikke (til første orden) ændrer længden af kurven. Det simplest mulige tilfælde er en kurve på et stykke ternet papir mellem de to faste punkter A og B. De fleste ved vel, at den korteste afstand mellem to punkter er en ret linie, men hvor mange kender beviset for, at en ret linie mellem to punkter faktisk er en geodætisk kurve?

Et punkt på papiret er givet ved to reelle koordinater (x, y). En kurve fremstilles ved for hver værdi af den reelle parameter t mellem 0 og 1 at tildele de to koordinater værdierne x(t) og y(t). Jeg antager, at de to reelle funktioner x(t) og y(t) er differentiable med differentialkvotienterne dx/dt og dy/dt, som igen er funktioner af t. En lille tilvækst dt medfører derfor tilsvarende koordinattilvækster givet ved dx = (dx/dt)dt og dy = (dy/dt)dt. Det lille kurvestykke svarende til dt kalder jeg ds. Pythgoras sætning medfører at ds² = dx²+dy² = [(dx/dt)²+(dy/dt)²]dt², så ds = [(dx/dt)²+(dy/dt)²]^1/2dt = L(dx/dt,dy/dt)dt, hvor L(dx/dt,dy/dt) = [(dx/dt)²+(dy/dt)²]^1/2. Den totale længde af kurven fra A(t=0) til B(t=1) findes ved at integrere udtrykket for ds fra 0 til 1.

S(x(t),y(t)) = ∫₀¹L(dx/dt,dy/dt)dt

S kaldes et funktional , da værdien afhænger af hele to reelle funktioner, nemlig x(t) og y(t). Jeg vil nu for hvert t flytte de to koordinatfunktioner med en lille forskydning, således at x(t) → x(t) + δx(t) og y(t) → y(t) + δy(t). Hvordan ændrer denne forskydning funktionalets værdi S → S + δS?

Jeg vil først undersøge, hvordan de to forskydningsfunktioner δx(t) og δy(t) ændrer integranden L(dx/dt,dy/dt):

δL = [∂L/∂(dx/dt)]dδx/dt + [∂L/∂(dy/dt)]dδy/dt.  Funktionalet ændring findes ved integration af δL:

δS = ∫₀¹δLdt = ∫₀¹[∂L/∂(dx/dt)](dδx/dt)dt + ∫₀¹[∂L/∂(dy/dt)](dδy/dt)dt

Dette er en fin formel, men en geodætisk kurve kræver, at δS skal være uafhængig af δx(t) og δy(t), ikke af differentialkvotienterne. De to integraler må derfor omskrives, så de kommer til at indeholde δx(t) og δy(t). Nu findes der heldigvis en sætning om delvis integration, som man kan slå op i en tabel. Formlen er ganske simpel i ubestemt form:

∫udv = uv – ∫vdu. Den antager som et bestemt integral mellem 0 og 1 formen:

∫₀¹u(dv/dt)dt = u(1)v(1)-u(0)v(0) – ∫₀¹v(du/dt)dt

I det første integral for δS kan jeg identificere v = δx og u = ∂L/∂(dx/dt). der gælder endvidere, at δx(0) = δy(1) = 0, da endepunkterne for kurven ikke varieres. Dette betyder, at produktet uv i endepunkterne bliver 0. Det første integral bliver derfor

-∫₀¹(d/dt)[∂L/∂(dx/dt)]δxdt

Den eneste måde, hvorpå integralet kan være uafhængig af funktionen δx(t), er ved at sætte d[∂L/∂(dx/dt)]/dt = 0. De samme argumenter gælder for det andet integral i udtrykket for δS. En geodætisk ligning er derfor bestemt af de to ligninger:

d[∂L/∂(dx/dt)]/dt = 0
d[∂L/∂(dy/dt)]/dt = 0

Jeg minder nu om, at L(dx/dy,dy/dt) = [(dx/dt)²+(dy/dt)²]^½, hvorfor jeg finder

∂L/∂(dx/dt) = ½L^-12(dx/dt) = dx/(Ldt) = dx/ds, idet længden af liniestykket langs kurven er ds = Ldt. Geodæten bestemmes af de to ligninger:

(d/dt)dx/ds = 0 og (d/dt)dy/ds = 0, hvilket er ensbetydende med, at både dx/ds og dy/ds er konstante. Jeg antager nu, at s måles fra det første punkt svarende til t = 0. De to ligninger kan integreres til x(s) – x(0) = as og y(s) – y(0) = bs, hvor a og be er to konstanter.

Jeg får ved division af den anden med den første, at y – y(0) = (b/a)(x – x(0). Geodæden er en ret linie.

Denne metode kan også anvendes til at vise, at geodæten, som forbinder to punkter på himmelkuglen er en storcirkel.

 

[BjarneModerator Super Nova]

Jeg vil nu vende mig fra en kurve på et stykke papir mod en kurve mellem to faste punkter på en enhedskugle (himmelkuglen). Et punkt på enhedskuglen angives sædvanligvis ved de to vinkelkoordinater θ og φ, hvor θ er punktets vinkelafstand fra koordinatsystemets pol, og φ er azimutvinklen for tetningen til punktet. Alle vinkler måles i radianer. En kurve bestemmes ud fra de to koordinatfunktioner θ(t) og φ(t), hvor t er en reel parameter med værdier mellem 0 og 1 svarende til de to punkter A(t=0) og B(t=1).

Afstandsdifferensen i θ-retningen mellem to nære punkter på kurven er gived ved dθ = (dθ/dt)dt. Den tilsvarende afstand i φ-retningen langs lillecirklen med radius sin(θ) er givet ved sin(θ)dφ = sin(θ)(dφ/dt)dt. Kurvelængden mellem de to punkter er derfor:

ds = [(dθ/dt)²+sin²(θ)(dφ/dt)²]^1/2dt = L(dθ/dt, dφ/dt, θ)dt. Den totale længde af kurven mellem A og B bliver derfor

S(θ(t),φ(t)) = ∫₀¹L(dθ/dt, dφ/dt, θ)dt, som igen er et funktional af to reelle funktioner θ(t) og φ(t).

Om en differentiabel reel funktion f(x,y,z) af tre reelle variable gælder, at små variationer δx, δy og δz til første orden medfører den tilsvarende variationen i funktionsværdien: δf = (∂f/∂x)δx + (∂f/∂y)δy + (∂f/∂z)δz. Jeg anvender denne regel på funktionen L(dθ/dt, dφ/dt, θ):

δL = [∂L/∂(dθ/dt)](dδθ/dt) + [∂L/∂(dφ/dt)](dδφ/dt) + (∂L/∂θ)dδθ

En geodætisk kurve er defineret ved, at δS = ∫₀¹δLdt = 0 for de små variationsfunktioner δθ(t) og δφ(t), som opfylder betingelserne δθ(0) = δθ(1) = 0 og δφ(0) = δφ(1) = 0. Der er dog et problem med udtrykket for δL: det indeholder differentialkvotienterne dδθ/dt og dδφ/dt. Jeg har allerede vist, at problemet kan overvindes ved anvendelse af sætningen om delvis integration. Resultatet er

δS = ∫₀¹{{-d[∂L/∂(dθ/dt)]/dt+∂L/∂θ}δθ(t) + {-d[∂L/∂(dφ/dt)]/dt}δφ(t)}dt = 0 for alle funktioner δθ(t) og δφ(t).

Dette er kun muligt, hvis de følgende to ligninger er opfyldte:

-d[∂L/∂(dθ/dt)]/dt + ∂L/∂θ = 0 og -d[∂L/∂(dφ/dt)]/dt = 0. Dette er ligningerne for en geodætisk kurve på enhedskuglen, hvor

L(dθ/dt, dφ/dt, θ) = [(dθ/dt)²+sin²(θ)(dφ/dt)²]^1/2

(fortsættes)

 

[johanfynboDeltager Asteroid]

Tak for dette indlæg! Det er dejligt at se dette forklaret så klart.

[BjarneModerator Super Nova]

Tak, Johan. Det har hele tiden været min plan at vise, at en storcirkel på himmelkuglen er en geodætisk kurve. Jeg har nu fundet de to ligninger, som bestemmer en geodætisk kurve på enhedskuglen. Der er tale om to differentialligninger af anden orden. Opgaven er nu at finde to (bevægelses)integraler, som er konstante langs geodæten, så problemet reduceres til to differentialligninger af første orden. Opgaven er simplere end, man umiddelbart skulle tro. For enhver kurve på enhedskuglen gælder nemlig, at afstanden, ds, mellem to nære punkter er givet ved ds² = dθ² + sin²(θ)dφ². Det første integral fås ved at dividere denne ligning med ds²:

(dθ/ds)² + sin²(θ)(dφ/ds)² = 1, som gælder for alle kurver på enhedskuglen.

Den anden geodætiske ligning kan umiddelbart integreres til ∂L/∂(dφ/dt) = c, hvor c er en konstant. Jeg udregner nu den partielt afledede af L:

∂L/∂(dφ/dt) = (1/2)(L²)^(1/2)-12sin²(θ)(dφ/dt) = (1/L)sin²(θ)(dφ/dt) = sin²(θ)dφ/ds = c. Det andet integral er altså givet ved:

sin²(θ)(dφ/ds) = c

Jeg vil nu betragte det punkt, hvor geodæten krydser ækvator (θ=π/2) med vinklen dφ/ds = cos(i). Dette betyder, at c = cos(i). Den geodætiske kurve opfylder derfor de to integraler:

(dθ/ds)² + sin²(θ)(dφ/ds)² = 1

sin²(θ)(dφ/ds) = cos(i)

Det er ofte en fordel at anvende koordinaten μ = cos(θ) i stedet for θ. Jeg ganger den første ligning med sin²(θ):

(dμ/ds)² + {sin²(θ)(dφ/ds)}² = 1 – μ²

Jeg indsætter nu den anden ligning i ovenstående ligning:

(dμ/ds)² + μ² = sin²(i)

Jeg gætter den mulige løsning μ(s) = sin(i)sin(s), hvor s måles fra geodætens skæring med ækvator. Indsætning giver

sin²(i)cos²(s) + sin²(i)sin²(s) = sin²(i)

Den geodætiske kurve, som skærer ækvator med vinklen i er givet ved formlen:

cos(θ) = sin(i)sin(s)

Er dette ligningen for en storcirkel, som skærer ækvator med vinklen i?

Jeg anvender sinusrelationen for en retvinklet sfærisk trekant, hvis sider består af ækvator, storcirklen fra polen til ækvator og en anden storcirkel, som danner vinklen i med ækvator. Sinusrelationen antager formen sin(π/2)/sin(s) = sin(i)/sin(π/2-θ).

Storcirklen, som danner vinklen i med ækvator, er en geodætisk kurve.

 

[BjarneModerator Super Nova]

Der er faktisk en forbløffende lighed mellem at finde en geodætisk kurve på enhedskuglen og at finde den geodætiske kurve for et legeme i kredsløb omkring et ikke-roterende sort hul. Hvis man benytter sig af, at banen for en partikel omkring et sort hul befinder sig i et plan, og man vælger baneplanet som ækvatorplanet i et sfærisk koordinatsystem, kan et punkt på banen i rumtiden beskrives ved blot 3 koordinater, nemlig tiden, afstanden fra centrum og en azimut-vinkel. Jeg viste, at “hastigheden” for enhver kurve på enhedskuglen er konstant. I rumtiden gælder tilsvarende, at 4-hastigheden for enhver kurve (verdenslinie) er konstant. L-funktionen er i begge tilfælde uafhængig af azimut på grund af rotationssymmetrien. Jeg viste, at der for en geodæt på enhedskuglen gælder, at μ(s) = cos(θ(s)) svinger mellem et minimum og et maximum. På lignende måde finder man, at den radiale afstand for banen omkring et ikke-roterende sort hul svinger mellem et minimum (pericenter) og maximum (apocenter).

 

[Forfatter]

Indlæg